Número 21 / DICIEMBRE, 2023 (170-181)
LA DEMOSTRACIÓN DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS.
CONSIDERACIONES PARA LA SECUNDARIA BÁSICA
THE PROOF OF EQUALITY OF TRIANGLES.
CONSIDERATIONS FOR BASIC SECONDARY
DOI:
Artículo de Investigación
Recibido: (06/06/2023)
Aceptado: (23/09/2023)
https://doi.org/10.37135/chk.002.21.11
Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas,
Facultad de Educación Media, Departamento de
Ciencias Exactas, Santa Clara, Cuba
quinosg300@gmail.com
Joaquín Suárez Salvador
Escuela Secundaria Básica Juan Marinello, MINED.
Ranchuelo, Cuba
liety.dm@nauta.cu
Liety Díaz Marcelo
Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas,
Facultad de Educación Media, Departamento de
Ciencias Exactas, Santa Clara, Cuba
cduardo@uclv.cu
Carlos Duardo Monteagudo
Carlos Duardo Monteagudo - Liety Díaz Marcelo - Joaquín Suárez Salvador
CHAKIÑAN. Revista de Ciencias Sociales y Humanidades / ISSN 2550 - 6722 171
LA DEMOSTRACIÓN DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS.
CONSIDERACIONES PARA LA SECUNDARIA BÁSICA
THE PROOF OF EQUALITY OF TRIANGLES.
CONSIDERATIONS FOR BASIC SECONDARY
El tema sobre igualdad de triángulos, base fundamental para el estudio de contenidos
geométricos, se imparte y consolida en el octavo grado. La presente investigación expone
la factibilidad de aplicación del Programa Heurístico General como alternativa para el
tratamiento del contenido de enseñanza en las demostraciones de igualdad de triángulos
en el octavo grado de Secundaria Básica. Se utiliza el método dialéctico materialista, con
predominio del enfoque cuantitativo y asume una muestra de estudio de 23 estudiantes de
un grupo de octavo grado seleccionado intencionalmente, en el que se aplicó la observación,
el análisis del producto de la actividad y la entrevista entre otros métodos y técnicas,
que permitieron constatar las dicultades en el proceso de enseñanza-aprendizaje de los
contenidos relativos a la Unidad 2: Geometría plana y cálculo de cuerpos, especícamente
en el tema de igualdad de triángulos. Este resulta complejo para los estudiantes, ya que
deben aplicar conceptos, proposiciones y procedimientos. Por todo lo expuesto se precisa
la utilización del Programa Heurístico General que es incorporado mediante ejercicios de
demostración. La evaluación parcial de este trabajo brindó un resultado positivo, lo que
muestra la efectividad de la propuesta.
PALABRAS CLAVE: Matemática, heurística, igualdad de triángulos, demostración
The topic of the equality of triangles, the fundamental basis for the study of geometric
contents, is taught and consolidated in the eighth grade. The present research proposes
the feasibility of applying the General Heuristic Program as an alternative for the
treatment of the teaching content in the demonstrations of equality of triangles in the
eighth grade of Basic Secondary School. The dialectical materialist method was used with
the predominance of the quantitative approach and assumed a study sample of 23 students
from an intentionally selected group of eighth grade. Observation, analysis of the product
of the activity, and interview were applied together with other methods and techniques.
These made it possible to verify the diculties in the teaching-learning process of the
contents related to Unit 2 Plane geometry and calculation of bodies, specically on
the topic of equality of triangles. This is complex for the learners since they must apply
concepts, propositions as well as procedures. For all these reasons, it is necessary to use
the General Heuristic Program, which is incorporated through demonstration exercises.
The partial evaluation of this work gave a positive result, which shows the eectiveness
of the proposal.
KEYWORDS: Mathematics, heuristics, equality of triangles, proof
RESUMEN
ABSTRACT
LA DEMOSTRACIÓN DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS. CONSIDERACIONES PARA LA SECUNDARIA BÁSICA
Número 21 / DICIEMBRE, 2023 (170-181) 172
INTRODUCCIÓN
Los documentos que norman el Tercer
Perfeccionamiento del Sistema Nacional de
Educación en la República de Cuba declaran
que “la política educacional está orientada a
formar ciudadanos con una cultura general
integral y un pensamiento humanista y creador,
que les permita adaptarse a los cambios del
contexto y resolver problemas de interés
social con una actitud crítica” (MINED, 2021,
p. 3). Esta concepción resulta básica para el
perfeccionamiento educacional.
Los logros alcanzados en la educación
promueven la creatividad pedagógica y
optimizan el proceso de enseñanza-aprendizaje.
La Matemática aporta al cumplimiento de los
objetivos del Sistema Educativo cubano en la
asimilación de los conocimientos cientícos y
la formación de una actitud cientíca hacia los
fenómenos de la realidad y de los valores que
responden al encargo social de la escuela. Sobre
todo, si se tiene en cuenta su carácter integrador
y generalizador; así como su incidencia en
el desarrollo armónico y multifacético de la
personalidad de los estudiantes.
El proceso de enseñanza-aprendizaje de la
Matemática se encuentra en renovación, el
cambio fundamental radica en que la formulación
y solución de problemas se convierte en su
eje central, donde la perseverancia de los
estudiantes (Gorina & Berenguer, 2017) es
básica para el cumplimiento de los objetivos.
No obstante, se constatan dicultades en
geometría y escaso desarrollo de habilidades en
los ejercicios con contenidos geométricos y su
aplicación, especícamente en el octavo grado
de la Secundaria Básica.
Los estudiantes presentan dicultades en
la aplicación de conceptos, proposiciones,
procedimientos, propiedades y teoremas
en general, objeto de estudio en este grado,
manifestándose en la demostración de igualdad
de triángulos, donde existen limitaciones en la
solución de ejercicios y problemas en los que
se aplican los contenidos geométricos. Estas
han sido constatadas en la práctica pedagógica,
así como en los resultados de comprobaciones
y exámenes parciales. Por otra parte, en las
orientaciones metodológicas para la Matemática
en el octavo grado se aprecian limitaciones en
la orientación de cómo dar tratamiento a las
demostraciones de igualdad de triángulos.
La habilidad demostrar en Matemática ha sido
objeto de estudio por parte de investigadores
tales como: Fernández & Gamboa (2018),
Lafaid (2018), Iglesias & Ortiz (2019), Bernardis
& Moriena (2021), Quero & Ruiz (2021) y
Morales et al. (2022), quienes coinciden en el
escaso desarrollo que esta habilidad presenta
en los estudiantes. Otros como Arnaiz et al.
(2020), Llerena (2020) y Ramírez (2021)
arman que no existe una conducción adecuada
de los estudiantes para resolver ejercicios de
demostraciones geométricas, lo que conduce
a la poca motivación y no comprensión de los
mismos.
La presente propuesta se dirige a demostrar
la factibilidad de aplicación del Programa
Heurístico General como alternativa para el
tratamiento del contenido de enseñanza en las
demostraciones de igualdad de triángulos, en el
octavo grado de la Secundaria Básica.
METODOLOGÍA
En este artículo de investigación se presenta una
alternativa donde el método general utilizado
es el dialéctico materialista que permitió la
conjugación de diferentes métodos y técnicas
para el estudio (Lorences et al., 2009). En su
diseño se tomó como referentes a Hernández
et al., 2014, al enmarcarlo en el cuantitativo no
experimental, de tipo analítico y transeccional,
por las variables que no se manipularon para su
estudio y fueron analizadas dentro de un período
único.
La investigación se desarrolló con 23 estudiantes
Carlos Duardo Monteagudo - Liety Díaz Marcelo - Joaquín Suárez Salvador
CHAKIÑAN. Revista de Ciencias Sociales y Humanidades / ISSN 2550 - 6722 173
de octavo grado de la Secundaria Básica “Juan
Marinello” del municipio Ranchuelo, en Villa
Clara, Cuba, seleccionados intencionalmente por
ser el grupo en que uno de los autores imparte
Matemática.
El proceso investigativo se ejecutó en los
siguientes pasos, siguiendo la metodología
de De Armas & Valle (2011), en cuanto a la
consecución de acciones investigativas:
• Primer paso: revisión bibliográca para
la determinación de las orientaciones del
Ministerio de Educación, acerca de la
utilización del Programa Heurístico General
en las demostraciones de la igualdad de
triángulos.
• Segundo paso: se dedicó a obtener el
consentimiento de los estudiantes que
participarían y la necesaria información
acerca de la incorporación del Programa
Heurístico General, como alternativa para el
tratamiento de las demostraciones de igualdad
de triángulos. Obtenido su consentimiento,
se aplicó la observación en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la Matemática
para determinar las carencias que presentan
en este contenido de la enseñanza.
• Tercer paso: elaboración de la secuencia de
acciones teniendo en cuenta las fases del
Programa Heurístico General (Ballester et al.,
1992) y la propuesta de Arnaiz et al. (2014),
como alternativa para el tratamiento de las
demostraciones de igualdad de triángulos.
• Cuarto paso: ejecución de las acciones y
operaciones elaboradas que se incorporaron
al proceso de enseñanza-aprendizaje de la
Matemática en el octavo grado de la citada
Secundaria Básica.
• Quinto paso: análisis del producto de
la actividad de los estudiantes tanto en
sus resultados en clases como en las
comprobaciones de conocimientos. El análisis
porcentual se usó como procedimiento para
la comparación de los resultados.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
La revisión bibliográca permitió, por una
parte, identicar los fundamentos teóricos que
sustentan la investigación y por otra determinar
las orientaciones del Ministerio de Educación
respecto a la utilización del Programa Heurístico
General en las demostraciones de la igualdad de
triángulos.
En tal sentido, se constató que la línea directriz
Geometría en la Secundaria Básica sistematiza
los contenidos geométricos adquiridos en el
nivel educativo precedente y se introducen
nuevos contenidos, en tanto:
Se profundiza en el tratamiento de los
movimientos al estudiar los criterios de
igualdad de triángulos, se trata el teorema
de las transversales y se introduce la
semejanza de guras, y en particular,
la de triángulos. Estos contenidos se
aplican a la resolución de ejercicios de
cálculo, construcción y demostración.
(Ballester, 2018, p. 78)
Para octavo grado se plantea formular y resolver
ejercicios y problemas intra y extramatemáticos
que conduzcan a la estimación, medición y
cálculo aproximado de magnitudes geométricas
de guras en el plano y el espacio, aplicando
sus propiedades y relaciones. Además, los
movimientos del plano, los teoremas estudiados
y las razones trigonométricas, para favorecer el
análisis y evaluación de las vías más racionales
y valorar situaciones relacionadas con la vida
cotidiana, otras asignaturas, la ciencia, la técnica
y el arte (Álvarez et al., 2014).
En el grado se imparte el tema Geometría plana y
cálculo de cuerpos, y en este, el contenido de los
teoremas (criterios) de igualdad de triángulos,
donde se realizan ejercicios de demostración.
Estos criterios son:
- si dos triángulos tienen respectivamente
iguales dos lados y el ángulo comprendido
entre ellos, entonces son iguales (l.a.l);
LA DEMOSTRACIÓN DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS. CONSIDERACIONES PARA LA SECUNDARIA BÁSICA
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- si dos triángulos tienen respectivamente
iguales un lado y los dos ángulos adyacentes
a ese lado, entonces son iguales (a.l.a); y
- si dos triángulos tienen respectivamente
iguales tres lados, entonces son iguales (l.l.l)
(MINED, 2014).
Para los autores de este trabajo un ejercicio,
según Müller, 1978 (citado por Ballester et
al., 1992), es una exigencia para actuar que se
caracteriza por: el objetivo de las acciones, su
contenido y las condiciones.
Los ejercicios de demostración constituyen
problemas debido a su complejidad. La
concepción de Campistrous & Rizo (1996) acerca
de los problemas es asumida en la investigación,
según la cual es toda situación en la que hay un
planteamiento inicial y una exigencia que obliga
a transformarla. La vía para pasar de la situación
o planteamiento inicial a la nueva situación
exigida tiene que ser desconocida y la persona
debe querer ejecutar la transformación.
El programa de octavo grado (MINED, 2016)
declara en sus objetivos que en los criterios de
la igualdad de triángulos se realicen ejercicios
de demostración aplicando las propiedades de
los triángulos, cuadriláteros y circunferencia.
Para la resolución de ejercicios y problemas de
demostración los procedimientos heurísticos
(principios, reglas, estrategias y programas
heurísticos, así como medios auxiliares
heurísticos) resultan fundamentales para
descubrir o encontrar una vía de solución. Además,
se conforman como un recurso importante que
permite reexionar sobre su propio aprendizaje
y generar nuevos conocimientos.
En la planicación y dirección de los procesos
de resolución de problemas se utilizan los
llamados programas heurísticos; autores como
Polya (1945), Schoenfeld (1989), Ballester et al.
(1992), Algarabel et al. (1996) y Quero & Ruiz
(2021) han investigado al respecto.
Los rmantes de este trabajo asumen el
Programa Heurístico General de Ballester et
al. (1992), que consta de fases fundamentales
y tareas principales: orientación al problema
(comprensión del texto del problema); trabajo en
el problema (búsqueda de la idea de solución);
solución del problema (ejecución del plan de
solución); y evaluación de la solución y de la vía
(comprobación de la solución, reexión sobre
los medios aplicados). Este es un programa
heurístico aplicable a cualquier tipo de problema,
tomándose en su sentido más general.
En 2014, Arnaiz et al. incluyen en el texto: “La
dirección del proceso de enseñanza-aprendizaje
de la Matemática para potenciar la integración de
los contenidos” los estudios que realizaron acerca
de las habilidades matemáticas, asumiendo que
demostrar proposiciones matemáticas es una
habilidad matemática generalizada consistente
en enmarcar una situación dada en un concepto
matemático.
Además, constatar que esa situación dada
cumple o no con las características esenciales
de un concepto. Esto se logra a través de una
cadena nita de inferencias lógicas, aplicando
conceptos y teoremas estudiados. Arman que
“cuando se utiliza sólo una inferencia lógica
estamos en presencia de una fundamentación”
(Arnaiz et al., 2014, p. 31).
Los investigadores proponen cuatro acciones
principales, con sus respectivas operaciones
para la habilidad demostrar, que se consideraron
pertinentes, por lo que se menciona a
continuación:
- Para la primera acción: reexionar sobre
la proposición dada, declara las siguientes
operaciones: identicar el concepto
relacionado con lo que se debe demostrar;
sustituir los conceptos por sus deniciones;
identicar la estructura lógica de la
proposición (premisas, tesis); sustituir, si
es necesario, la proposición por otra
equivalente; y establecer relaciones con
otras proposiciones que tengan premisas y
tesis similares.
- La segunda acción: encontrar la vía de
demostración, consta de las siguientes
operaciones: reexionar sobre los
procedimientos, estrategias, reglas y medios
auxiliares heurísticos; elaborar un plan de
demostración (directa, indirecta) donde se
precisen las inferencias lógicas necesarias;
y reexionar sobre la vía demostración.
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- Tercera acción: representación de la
demostración, que se materializa en las
operaciones: representar por escrito la cadena
de inferencias y las fundamentaciones que la
hacen comprensible y elaborar una oración
que exprese lo que se ha demostrado.
- Cuarta y última acción: evaluar
críticamente la demostración y consta de:
valorar si los pasos dados son sucientes;
valorar la cantidad de fundamentaciones
indispensables; reexionar sobre las
relaciones lógicas utilizadas; valorar el
lenguaje y simbología utilizada; y valorar la
posibilidad de utilizar la vía de demostración
en otras situaciones.
EL TRABAJO CON
PROPOSICIONES MATEMÁTICAS
Al respecto, una proposición matemática es
una armación que puede ser verdadera o falsa,
aunque nunca ambas a la vez, en la que se
distinguen dos partes fundamentales: la premisa
y la tesis. En el proceso de demostración
de proposiciones matemáticas, en este caso
ejercicios y problemas de igualdad de triángulos
están implícitos los siguientes procesos parciales:
búsqueda de proposiciones, proceso en el cual
se dirigen las acciones de los estudiantes a
establecer una suposición (el teorema buscado);
búsqueda de una demostración: proceso en
el cual se orienta a los estudiantes a encontrar
una idea de demostración para la proposición
buscada; y la representación de la demostración:
proceso encaminado a la realización de la idea
de demostración encontrada (Che, 2007).
Los ejercicios de demostración en que se aplican
los teoremas sobre igualdad de triángulos
desarrollan la capacidad para demostrar. En
todo proceso de demostración el empleo de la
heurística contribuye a la sistematización de
los contenidos que se aprenden sobre ángulos,
cuadriláteros, mediatrices, bisectrices, medianas,
triángulos y circunferencia.
Teniendo en cuenta las fases del Programa
Heurístico General (Ballester et al., 1992), y
la propuesta de acciones y operaciones para la
habilidad demostrar de Arnaiz et al. (2014), se
elaboró la siguiente propuesta:
1. Orientación al problema (comprensión del
texto del problema), el estudiante debe leer
detenidamente el problema; determinar de
qué se trata el problema de demostración;
formularlo con sus propias palabras y
determinar sus palabras claves.
2. Trabajo en el problema (búsqueda de la idea
de solución, demostración): identicar el
concepto relacionado con lo que se debe
demostrar; sustituir los conceptos por
sus deniciones; identicar la estructura
lógica de la proposición (premisas, tesis);
sustituir, si es necesario, la proposición por
otra equivalente; establecer relaciones con
otras proposiciones que tengan premisas
y tesis similares; reexionar sobre los
procedimientos, estrategias, reglas y medios
auxiliares heurísticos; elaborar un plan de
demostración (directa, indirecta) donde se
precisen las inferencias lógicas necesarias;
y reexionar sobre la vía demostración.
3. Solución del problema (ejecución del plan
de solución, demostración): el estudiante
debe representar por escrito la cadena de
inferencias y las fundamentaciones que la
hacen comprensible; elaborar una oración
que exprese lo que se ha demostrado; realizar
cálculos intermedios o demostraciones
intermedias en dependencia del criterio
seleccionado; escribir la sucesión de
inferencias lógicas y sus justicaciones;
y concluir la demostración con el teorema
aplicado.
4. Evaluación de la solución y de la vía
(comprobación de la solución, demostración,
reexión sobre los medios aplicados): debe
comprobar en el problema si todas las
proposiciones planteadas que llevan hacia
la tesis están justicadas; buscar otra vía de
solución (utilizar otros criterios); valorar si
los pasos dados son sucientes y la cantidad
de fundamentaciones indispensables;
reexionar sobre las relaciones lógicas
LA DEMOSTRACIÓN DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS. CONSIDERACIONES PARA LA SECUNDARIA BÁSICA
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utilizadas; así como, valorar el lenguaje y
simbología utilizada y la posibilidad de
utilizar la vía de demostración en otras
situaciones.
EJEMPLIFICACIÓN
En la 𝐶(𝑂; ), (gura 1), diámetro, , tangente a la
circunferencia en B. Demuestra que:
Fuente: (MINED, 2014, p. 161).
Figura 1: Circunferencia
Necesaria aclaración de la simbología
utilizada:
DEMOSTRACIÓN
En la gura 2 de análisis:
En los triángulos y tenemos que:
por datos.
En la circunferencia por ser
radios.
Luego:
• por transitividad.
Como entonces el
es equilátero por tener sus tres lados iguales.
Los son ángulos interiores del
y en todo triángulo equilátero se cumple
que tienen igual amplitud o sea
El es un ángulo seminscrito por estar
formado por dos semirrectas de origen común,
vértice en la circunferencia, y ser una tangente
a la circunferencia y ser la otra secante.
El es un ángulo inscrito por tener su vértice
en la circunferencia y sus dos semirrectas ser
secantes.
Entonces:
• por ser ángulo
seminscrito e inscrito sobre el mismo
arco.
Tenemos que:
por ser ángulos adyacentes,
entonces
por ser ángulos adyacentes,
entonces
Luego:
• por ser .
Fuente: (MINED, 2014, p. 161).
Figura 2: Circunferencia (de análisis).
Carlos Duardo Monteagudo - Liety Díaz Marcelo - Joaquín Suárez Salvador
CHAKIÑAN. Revista de Ciencias Sociales y Humanidades / ISSN 2550 - 6722 177
Por tanto:
El por tener respectivamente
iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a
este.
Descripción de la actividad del profesor en la
fase 1: orienta la lectura detenida del problema
y realiza impulsos para su comprensión. Estos
impulsos en forma de preguntas deben estar
orientados a dirigir la atención a los elementos
antes mencionados.
Descripción de la actividad del estudiante en
la fase 1: leen detenidamente el problema e
individualmente o con ayuda de los impulsos del
profesor determinan de qué trata el problema,
formulándolo según su vocabulario. Debe tener
en cuenta el uso adecuado de la simbología y
terminología matemática. En la determinación
de las palabras claves es importante que se
mencionen aquellos conceptos que aparecen en
el texto del problema.
Descripción de la actividad del profesor en
la fase 2: dirige mediante impulsos el proceso
de análisis de los datos ya sea en el enunciado
y en la gura de análisis; así como el de la
determinación de las incógnitas les recuerda los
criterios de igualdad de triángulos. Aquí entran
las posibilidades de los estudiantes para escoger
uno de los criterios en dependencia del desarrollo
alcanzado y sus conocimientos de geometría.
Impulsos que puede dar el profesor: ¿qué
datos ofrece el problema?, ¿qué nos piden?,
¿qué conceptos ofrecen los datos?, ¿qué datos
aparecen en la gura de análisis?, ¿es necesario
realizar una construcción auxiliar en la gura
de análisis?, ¿qué criterios de demostración de
igualdad de triángulos se pueden utilizar?, ¿es
necesario extraer de la gura los triángulos para
tener una mejor idea de la vía de demostración?,
¿con los datos ofrecidos se puede realizar
directamente la demostración o hay que realizar
cálculo intermedio?, Análisis de las posibles vías
de solución a partir de los datos y los criterios.
Descripción de la actividad del estudiante en la
fase 2: extraen los datos, individualmente o con
ayuda del profesor, analizan las consecuencias
directas de las caracterizaciones de los elementos
que aparecen en estos. Al hacer el análisis en la
gura 2 encuentran vías de solución y realizan
cálculos intermedios.
El aseguramiento del nivel de partida en el
inicio de la clase les recuerda los teoremas
y deniciones relacionadas con triángulos,
circunferencia y círculo (rápidamente aparecen
el ángulo semi-inscrito y el ángulo inscrito).
Al representar la igualdad entre segmentos se
percatan de la relación existente entre los radios
de la circunferencia. Al tener un par de lados y
ángulos iguales, los estudiantes reconocen la vía
aplicando el criterio de tener respectivamente
iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a
este.
Al escoger el criterio se reduce el problema a
demostrar la igualdad entre dos ángulos que
al ser representados en la gura 2 de análisis
encuentran la justicación. La representación en
la gura 2 de análisis es un elemento fundamental
en el proceso de solución del problema.
Descripción de la actividad del profesor en la
fase 3: a través de impulsos establece relaciones
entre lo que se tiene y lo que se necesita.
Además, estos impulsos deben ir comprobando
la sucesión de inferencias y sus justicaciones.
Descripción de la actividad del estudiante en
la fase 3: con ayuda del profesor analizan las
relaciones que aparecen en la gura.
Encontrar la relación entre el par o los pares de
elementos que faltan, en dependencia del criterio
escogido. Al escribir la sucesión de inferencias
se debe prestar especial atención a que no
queden armaciones sin su correspondiente
justicación, llegando a concluir la igualdad
entre los triángulos.
Descripción de la actividad del profesor en la
fase 4: a través de impulsos comprueba la vía de
solución (demostración).
Pregunta: ¿cómo se procedió para buscar la idea de
la demostración? Si están todas las proposiciones
planteadas justicadas que llevan hacia la
demostración de la tesis del problema, ¿qué
acciones te resultaron útiles? Busca otras formas
de justicar los mismos elementos utilizados en
LA DEMOSTRACIÓN DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS. CONSIDERACIONES PARA LA SECUNDARIA BÁSICA
Número 21 / DICIEMBRE, 2023 (170-181) 178
la demostración e indagar si alguien encuentra
otra justicación para hallar los elementos de
esta vía de solución (demostración). Insiste
en buscar nuevas vías de solución utilizando
diferentes criterios, orientando su realización
en estudio independiente. Sistematiza otros
conceptos geométricos y establece relaciones
más complejas entre los elementos.
Descripción de la actividad del estudiante en la
fase 4: individualmente o con ayuda del profesor
comprueba la solución del problema.
Busca la solución por otra vía, siendo encontrado
el criterio de dos lados y el ángulo comprendido
respectivamente igual. Clasican los tipos
de triángulo y lo utilizan para demostrar las
relaciones entre los elementos que necesitan.
(La vía menos frecuente fue utilizar el criterio
de tres lados respectivamente iguales).
RESULTADOS PARCIALES DE LA
APLICACIÓN DE LA PROPUESTA
EN LA PRÁCTICA PEDAGÓGICA
Los estudiantes solucionaron problemas con
grado de dicultad diferente y como parte de
la evaluación parcial se realizó el siguiente
ejercicio:
• La gura 3, ABCD es un trapecio de base
E es punto medio de A, B y G son
puntos alineados al igual que D, E y G.
Probar que =.
Fuente: (MINED, 2014, p. 162).
Figura 3: Trapecio ABCD.
Los resultados del grupo de 23 estudiantes
fueron:
- El 65,2 % resolvió el ejercicio correctamente,
mientras que el 17,3 % demostró
incorrectamente la igualdad de triángulos,
al determinar un dato con una justicación
incorrecta y no concluir; y los demás no
fueron capaces de justicar ni señalar los
ángulos. 2 estudiantes intentaron hacerlo por
un criterio no válido.
- El 100 % de los estudiantes identicó los
triángulos que tenían que trabajar para
realizar la demostración de igualdad de
triángulos y dar respuesta a lo pedido en el
ejercicio.
- Los que resolvieron correctamente utilizaron
el criterio (a.l.a), el 59,9 % determinó los
lados iguales y los ángulos adyacentes a estos
directamente. Los restantes encontraron
el otro ángulo y concluyeron la igualdad
de los ángulos que necesitaban, para la
demostración, por terceros ángulos. El 40,1
% de estudiantes aunque concluyó que los
lados son iguales no lo justicó.
- Los que no resolvieron el problema en su
totalidad (34,8 %) plantearon que:
no poder identicar la relación de los
ángulos entre paralelas y lados iguales
(55,5 %),
forzaron la demostración por el criterio
(l.a.l) al determinar un dato mal justicado
(66,6 %) y
utilizaron el criterio (l.l.l), donde no tenían
elementos para concluir, presentando
dicultades en la fase trabajo en el
problema y no llegaron a la conclusión
correcta (33,3 %).
Los estudiantes declararon que los criterios
(l.a.l) y (l.l.l) no se podían utilizar al no tener
medios de justicación entre los elementos de los
triángulos, además, sus carencias matemáticas
no les permitieron llegar a feliz término.
Carlos Duardo Monteagudo - Liety Díaz Marcelo - Joaquín Suárez Salvador
CHAKIÑAN. Revista de Ciencias Sociales y Humanidades / ISSN 2550 - 6722 179
CONCLUSIONES
Las carencias en cuanto al aprendizaje de la
igualdad de triángulos se maniestan entre los
estudiantes del octavo grado en la Secundaria
Básica “Juan Marinello”, especícamente
al aplicar conceptos, preposiciones y
procedimientos en la resolución de ejercicios de
demostración.
Los pasos elaborados teniendo en cuenta las
fases del Programa Heurístico General y la
propuesta de acciones y operaciones para la
habilidad demostrar, constituyen una alternativa
factible para la impartición del contenido de
la enseñanza demostración de la igualdad
de triángulos, en el proceso de enseñanza-
aprendizaje de la Matemática en el octavo grado
de la Secundaria Básica.
Los resultados de su incorporación en la práctica
pedagógica son aceptables dada la complejidad
del contenido y revelan la necesidad de potenciar
propuestas para incorporar el Programa
Heurístico General en otros contenidos de la
enseñanza de la Matemática.
DECLARACIÓN DE CONFLICTOS DE
INTERESES: Los autores declaran no tener
conictos de interés.
DECLARACIÓN DE CONTRIBUCIÓN DE
LOS AUTORES Y AGRADECIMIENTOS:
A continuación, se menciona la contribución
de cada autor, en correspondencia con su
participación, utilizando la Taxonomía Crédit:
− Carlos Duardo Monteagudo: Autor
principal, análisis formal, investigación,
metodología, conceptualización,
administración de proyectos, redacción-
revisión y edición.
− Liety Díaz Marcelo: Investigación,
análisis formal, metodología y redacción
del borrador y original.
− Joaquín Suárez Salvador: Análisis formal,
metodología, redacción- borrador original.
Los autores agradecen el apoyo brindado por el
proyecto “Alternativas metodológicas para el
trabajo con los libros de texto en la Matemática
de la Educación Media”, que se desarrolla en la
Facultad de Educación Media de la Universidad
Central “Marta Abreu” de Las Villas. En
especial el apoyo brindado por el PhD. Gonzalo
González Hernández, del Centro de Estudios de
Educación por su asesoría metodológica, aunque
no es responsable del contenido del artículo.
DECLARACIÓN DE APROBACIÓN DEL
COMITÉ DE ÉTICA: Los autores declaran
que la investigación fue aprobada por el Comité
de Ética de la institución responsable, por la
implicación de seres humanos en la misma.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Algarabel, S., Dasí, C., Gotor, A., & Perea,
M. (1996). Solución de problemas:
una revisión del uso de heurísticos y
una evaluación de su utilización en
Matemáticas. Revista Española de
Pedagogía, LIV(203), 143-165. https://
www.jstor.org/stable/23765698
Álvarez, M., Almeida, B., & Villegas, E. V.
(2014). El proceso de enseñanza-
aprendizaje de la Matemática.
Documentos Metodológicos. Editorial
Pueblo y Educación.
Arnaiz, I., García, J. A., & Díaz, M. (2020).
Concepción didáctica para aplicar
íntegramente las habilidades matemáticas
en la solución de ejercicios y problemas.
Revista Educación y Sociedad, 18(3),
16-29. https://dialnet.unirioja.es/servlet/
articulo?codigo=8329319
LA DEMOSTRACIÓN DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS. CONSIDERACIONES PARA LA SECUNDARIA BÁSICA
Número 21 / DICIEMBRE, 2023 (170-181) 180
Arnaiz, I., Ledo, O, Rojas, R. T., & García, J.
A. (2014). La dirección del proceso
de enseñanza-aprendizaje de la
Matemática para potenciar la integración
de los contenidos. Universidad de
Ciego de Ávila “Máximo Gómez
Báez”. https://www.researchgate.net/
publication/352284997
Ballester, S. (2018). Didáctica de la Matemática.
Editorial Universitaria Félix Varela.
Ballester, S., Santana, H., Hernández, S., Cruz,
I., Arango, C., García, M., Álvarez,
A., Rodríguez, M., Batista, L. C.,
Villegas, E., Almeida, B., & Torres, P.
(1992). Metodología de la Enseñanza
de la Matemática. Editorial Pueblo y
Educación.
Bernardis, S., & Moriena, S. (2021). Geometría
Dinámica & Demostraciones
Geométricas. Revista de Educación
Matemática, (Número especial), 1-7.
https://revistas.unc.edu.ar/index.php/
REM/article/view/10407
Campistrous, L., & Rizo, C. (1996). Aprende
a Resolver Problemas Aritméticos.
Editorial Pueblo y Educación.
Che, J. (2007). Didáctica de la Matemática
en la Secundaria Básica. Módulo III.
Segunda parte. Maestría en Ciencias de
la Educación. Mención en Educación
Secundaria Básica. Editorial Pueblo y
Educación.
De Armas, N., & Valle, A. (2011). Resultados
cientícos en la investigación educativa.
Editorial Pueblo y Educación.
Fernández, H., & Gamboa, M. E. (2018). La
didáctica de la geometría en función del
desarrollo tecnológico de la pedagogía
contemporánea. Revista Pertinencia
Académica, (6), 63-78. https://revistas.
utb.edu.ec/index.php/rpa/article/
view/2431
Gorina, A., & Berenguer, A. (22 al 24 de
noviembre de 2017). La perseverancia en
la resolución de problemas matemáticos
[ponencia]. XV Congreso Internacional
COMPUMAT, Universidad Tecnológica
de La Habana “José Antonio Echeverría”,
La Habana, Cuba. https://www.
researchgate.net/publication/327270834
Hernández, R., Fernández, C., & Baptista, M.
(2014). Metodología de la investigación,
6ta. edición. MacGraw Hill Education.
Iglesias, M. M., & Ortiz, J. (2019). La
Demostración en Geometría desde
una Perspectiva Didáctica. UNIÓN -
Revista iberoamericana de educación
matemática, 15(55). https://union.fespm.
es/index.php/UNION/article/view/297
Lafaid, E. (2018). La geometría para la vida y
su enseñanza. Revista de investigación,
administración e ingeniería, 6(1), 33-61.
https://doi.org/10.15649/2346030X.475
Llerena, C. V. (2020). Demostraciones
geométricas, Euclídeas y no Euclídeas,
mediadas por software dinámico y
evaluadas bajo el modelo de Van Hiele
en el proceso de nivelación emblemática
[Tesis de maestría, Universidad de
las Fuerzas Armadas]. Repositorio
de la Universidad de las Fuerzas
Armadas. http://repositorio.espe.edu.ec/
handle/21000/22415
Lorences, J., Guelmes, E. L., & Salmerón,
E. (2009). La concepción dialéctico
materialista de los métodos en la
investigación pedagógica. Revista
Varela, 9(24), 17-30. http://revistavarela.
uclv.edu.cu/index.php/rv/article/
view/713
MINED. (2014). Matemática 8vo grado.
Editorial Pueblo y Educación.
MINED. (2016). Programa de octavo grado.
Ministerio de Educación.
MINED. (2021). Adaptaciones curriculares para
el curso escolar 2020-2021. Educación
Secundaria Básica. Ministerio de
Educación de la República de Cuba.
Editorial Pueblo y Educación.
Carlos Duardo Monteagudo - Liety Díaz Marcelo - Joaquín Suárez Salvador
CHAKIÑAN. Revista de Ciencias Sociales y Humanidades / ISSN 2550 - 6722 181
Morales, Y., Rojas, R. T., & Arnaiz, I. (2022).
La formación del pensamiento lógi-
co desde la habilidad demostrar en
el proceso de enseñanza-aprendiza-
je de la Geometría. Revista Mendi-
ve, 20(4), 1207-1218. http://scielo.sld.
cu/scielo.php?script=sci_arttext&pi-
d=S1815-76962022000401207
Polya, G. (1945). How to solve it? Rinchart and
Winston Inc.
Quero, O. N., & Ruiz, A. M. (2021). Aprendizaje
de un programa heurístico para la
transferencia entre representaciones de
objetos de la Geometría Analítica. Roca.
Revista cientíco - Educacional de la
Provincia Granma, 18(1), 378-399.
https://revistas.udg.co.cu/index.php/
roca/article/view/2923
Ramírez, J. (2021). Estrategias metodológicas
para el desarrollo del pensamiento
lógico en los alumnos de sexto grado de
primaria. Editorial Pueblo y Educación.
Schoenfeld, A. (1989). A Brief and Beased
History of Problem Solving. Berkeley.