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Número 12 /
DICIEMBRE, 2020
(118-134)
EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA MEDIANTE PROBLEMAS CON APLICACIONES DE LAS FUNCIONES
Recibido:
(13/01/2020)
Aceptado:
(14/04/2020)
Número 12 / DICIEMBRE, 2020 (118-134)
EL DESARROLLO DE LA
COMPETENCIA MATEMÁTICA
MEDIANTE PROBLEMAS CON
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES
THE DEVELOPMENT OF MATHEMATICAL
COMPETENCE THROUGH PROBLEMS
WITH APPLICATION OF THE FUNCTIONS
DOI:
https://doi.org/10.37135/chk.002.12.08
Artículo de Investigación
Joaquín Suárez Salvador
jssalvador@uclv.cu
Universidad Central “Marta Abreu” de
Las Villas. Facultad de Educación Media,
Departamento de Ciencias Exactas. Santa
Clara, Cuba
ORCID:
https://orcid.org/0000-0001-5205-0788
Carlos Duardo Monteagudo
cduardo@uclv.cu
Universidad Central “Marta Abreu” de
Las Villas, Facultad de Educación Media,
Departamento de Ciencias Exactas. Santa
Clara, Cuba
ORCID:
https://orcid.org/0000-0002-2518-4470
ORCID:
http://orcid.org/0000-0002-7519-3105
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Joaquín Suárez Salvador; Carlos Duardo Monteagudo; Reinaldo Rodríguez Marín
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Resumen
El proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática es objeto de múltiples
investigaciones motivadas fundamentalmente por las dificultades de los
estudiantes en el aprendizaje de los contenidos matemáticos. En Cuba se
reordenan los contenidos de la asignatura y se perfeccionan sus métodos,
pero el cambio fundamental radica en que la formulación y solución de
problemas se convierte en el eje central de trabajo con sus contenidos y debe
hacer evidente las implicaciones de la matemática en la vida. Este artículo
tiene como objetivo proponer problemas con aplicaciones de las funciones
exponenciales y logarítmicas que potencien el desarrollo de la competencia
matemática en estudiantes de preuniversitario. La investigación se realiza
con un enfoque predominantemente cuantitativo. Se utilizan el análisis
de documentos, la observación, la encuesta, la entrevista, el criterio de
especialistas y el experimento, con un diseño pre experimental de tipo O1
X O2 y una muestra de 30 estudiantes de undécimo grado. Como resultado
se obtuvo problemas acordes a las exigencias del perfeccionamiento
del proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática, que permiten
desarrollar el tema de funciones exponenciales y logarítmicas con otro
enfoque, contribuyendo a la competencia matemática. Los problemas
fueron valorados satisfactoriamente por especialistas y las transformaciones
corroboradas.
Palabras clave: Enseñanza de las matemáticas, competencia matemática,
competencias para la vida, solución de problemas, enseñanza de las
funciones numéricas
Abstract
The teaching and learning process of Mathematics is the object of multiple
investigations mainly motivated by the students’ difficulties in learning
mathematical content. In Cuba, its contents are reordered, and its methods
are improved. However, the fundamental change is that formulation, and
problem-solving becomes the central axis of the work with mathematical
contents and should make evident the implications of Mathematics in life.
This article aims at proposing problems with applications of numerical
and logarithmic functions that enhance the development of pre-university
students’ mathematical competence. This research is carried out with a
predominantly quantitative approach. The methods used are the analysis
of documents, the observation, the survey, the interview, the specialists’
criteria, and the experiment, a pre-experimental design of the O1 X O2
type, and 30 students of eleventh grade. As a result, problems were
obtained by the demands of the improvement of the teaching-learning
process of Mathematics, which allow developing the subject of exponential
and logarithmic functions with another approach, contributing to
mathematical competence. Specialists satisfactorily assessed the problems,
and the transformations confirmed.
Keywords: Mathematics education, mathematical competence, life
competencies, problem solving, Teaching numerical function
EL DESARROLLO DE
LA COMPETENCIA
MATEMÁTICA
MEDIANTE
PROBLEMAS CON
APLICACIONES DE LAS
FUNCIONES
THE DEVELOPMENT
OF MATHEMATICAL
COMPETENCE
THROUGH PROBLEMS
WITH APPLICATION OF
THE FUNCTIONS
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EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA MEDIANTE PROBLEMAS CON APLICACIONES DE LAS FUNCIONES
INTRODUCCIÓN
La Organización de las Naciones Unidas para la
Educación, la Ciencia y la Cultura (UNESCO),
organismo encargado de guiar los esfuerzos
globales hacia la paz y la seguridad mundial desde
la educación, la ciencia y la cultura, elaboró un
programa con objetivos para ser cumplidos hasta
el año 2030 para el Desarrollo Sostenible. En ese
programa se plantea como objetivo número 4,
garantizar una educación inclusiva y equitativa de
calidad y promover oportunidades de aprendizaje
permanente para todos.
El programa se encuentra vinculado directamente
con la necesidad de fomentar los procesos
educativos a nivel mundial, en dos direcciones
fundamentales: la primera aumentar el acceso y la
segunda incrementar la calidad de estos procesos.
Dentro del marco de acción propuesto para su
consecución, Declaración de Incheón, UNESCO
(2016) se reconoce la necesidad de fortalecer
la educación en las ciencias y en particular la
matemática.
A partir de esta necesidad a nivel mundial existe
un creciente interés por el perfeccionamiento
del proceso de enseñanza aprendizaje (PEA) de
la Matemática. Otro elemento impulsor de este
interés es la creciente matematización del mundo
actual, en el que se pretende que el ciudadano del
siglo XXI sea capaz de:
• tomar decisiones comparando y analizando
datos estadísticos;
• interpretar el significado de proposiciones con
contenido matemático y sus implicaciones
para la supervivencia humana; y de
• resolver problemas donde tenga que emplear
conocimientos matemáticos
El PEA de la asignatura Matemática debe preparar
a los estudiantes para que al egresar de las escuelas
se inserten como ciudadanos en la llamada
sociedad de la información. Además, como
asignatura en el currículo del preuniversitario debe
contribuir a hacer evidente sus implicaciones en
la vida, elemento fundamental de la competencia
matemática. En Cuba se reordenan los contenidos
de la asignatura y se perfeccionan los métodos,
pero el cambio fundamental radica en que la
formulación y solución de problemas se convierte
en el eje central de trabajo con sus contenidos y
debe contribuir a hacer evidente las implicaciones
de la matemática en la vida.
Como resultado de indagaciones empíricas
realizadas por los autores en su práctica
pedagógica, se observa que los estudiantes de
preuniversitario presentan dificultades con los
contenidos matemáticos y con su utilización en
situaciones reales.
En la búsqueda de las causas fundamentales
se evidencia que en el proceso de enseñanza
aprendizaje no se logra una comprensión por los
estudiantes de los conceptos matemáticos y su
relación con situaciones de la vida. La bibliografía
utilizada en el proceso carece de problemas con
situaciones reales y no se es sistemático al proponer
problemas en clases relacionados con las mismas.
De ahí que, se hace necesario proponer problemas
con aplicaciones de las funciones numéricas que
desarrollen la competencia matemática de los
estudiantes, para ello se selecciona la Unidad
2: Ecuaciones y funciones exponenciales y
logarítmicas del undécimo grado en Cuba.
METODOLOGÍA
El presente artículo de investigación responde al
enfoque de investigación cuantitativo, Hernández,
Fernández y Baptista (2010), aunque se combina
con lo cualitativo. En su desarrollo se utilizan
métodos del nivel teórico, del nivel empírico
y del nivel estadístico. Se utilizó el análisis de
documentos, la observación, la entrevista, la
encuesta, el experimento, la triangulación de
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Joaquín Suárez Salvador; Carlos Duardo Monteagudo; Reinaldo Rodríguez Marín
fuentes, el criterio de especialista, la estadística
descriptiva y la prueba de hipótesis Wilcoxon de
los rangos con signos para muestras relacionadas.
En correspondencia con los métodos se elaboraron
y aplicaron instrumentos para la recolección
de datos tales como: guía para el análisis de
documentos, guía de observación, guía de
entrevista, cuestionario, guía para la valoración
de la propuesta por especialistas y la prueba
pedagógica.
En un primer momento, se determinan los
referentes teóricos esenciales para lo que se realiza
fundamentalmente el análisis de documentos y la
triangulación de fuentes. Luego, se determinan
las necesidades y potencialidades de la muestra y
se elabora una primera versión de los problemas
con aplicaciones de las funciones numéricas, la
que es sometida a criterio de especialistas y, en
correspondencia, se perfecciona.
Posteriormente, se utilizan los problemas en la
asignatura Matemática en la Unidad 2: Ecuaciones
y funciones exponenciales y logarítmicas, en un
grupo de 30 estudiantes de undécimo grado de
preuniversitario del municipio de Santa Clara,
que se toma como muestra intencional de una
población de 132 estudiantes de ese grado.
Para constatar los resultados, se utiliza el
experimento, con un diseño preexperimental de
tipo O1 X O2, en el que se evalúa el desarrollo
de habilidades que constituyen indicadores de la
competencia matemática. Finalmente, se aplica la
Prueba de Wilcoxon de los rangos con signos para
muestras relacionadas para el análisis comparativo
de las transformaciones experimentadas.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Delors et al. (1996) plantean el aprendizaje a lo
largo de toda la vida como una necesidad para
la sociedad actual, donde se aprovechen las
potencialidades educativas de cada uno de los
contextos en los que se desarrolla el individuo.
Para el logro de este objetivo las Comunidades
Europeas (2007) seleccionan las competencias
claves, dentro de las cuales se encuentra la
competencia matemática definida como:
(…) la habilidad para desarrollar y aplicar
el razonamiento matemático con el fin de
resolver diversos problemas en situaciones
cotidianas. Basándose en un buen dominio
del cálculo, el énfasis se sitúa en el proceso
y la actividad, aunque también en los
conocimientos. La competencia matemática
entraña —en distintos grados— la capacidad y
la voluntad de utilizar modos matemáticos de
pensamiento (pensamiento lógico y espacial)
y representación (fórmulas, modelos,
construcciones, gráficos y diagramas).
(Comunidades Europeas 2007:6)
Dicha competencia también ha sido definida por
Godino, Giacomone, Batanero y Font (2017)
como la habilidad para entender, juzgar, hacer y
usar las Matemáticas en una variedad de contextos
y situaciones intra y extra‐matemáticas en los que
las Matemáticas juegan o podrían jugar su papel.
Ambas definiciones parten del concepto habilidad
y se centran en el uso de la Matemática. La
primera menciona las habilidades para calcular
y representar, utilizar el pensamiento lógico y las
diferentes formas de representación. La segunda
se centra en los contextos y situaciones en las que
se puede desarrollar la competencia matemática.
La definición dada por OCDE (2017) sobre esta
competencia la identifica como una capacidad
y extiende su significado hacia otros elementos
más allá del uso de la Matemática en el mundo,
tales como identificar y comprender el papel de la
Matemática y emitir juicios bien fundados. Esta
definición destaca el papel de dicha competencia
en la vida personal del ciudadano constructivo,
comprometido y reflexivo.
Estas definiciones a criterio de los autores
no satisfacen los presupuestos de la presente
investigación, pues entendemos que la competencia
no es ni habilidad ni capacidad, sino configuración
psicológica compleja. Por lo que se realiza una
definición de competencia matemática como:
configuración psicológica compleja integrada
por conocimientos matemáticos, habilidades,
procedimientos y estrategias matemáticas, que
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EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA MEDIANTE PROBLEMAS CON APLICACIONES DE LAS FUNCIONES
-de conjunto con componentes metacognitivos,
motivacionales y cualidades de la personalidad-
autorregulan el desempeño real y eficiente al
resolver problemas cotidianos, entender el
mundo, y tomar decisiones como un ciudadano
constructivo, comprometido y reflexivo.
Dentro de las principales transformaciones
realizadas a la Matemática como asignatura
en Cuba se encuentra el establecimiento de
lineamientos o ideas claves para el trabajo de la
asignatura a partir del curso escolar 2004-2005.
Dentro de los mismos se encuentra un punto
fundamental:
Plantear el estudio de los nuevos contenidos
matemáticos en función de resolver nuevas
clases de problemas, de modo que la
resolución de problemas no sea solo un medio
para fijar, sino también para adquirir nuevos
conocimientos sobre la base de un concepto
amplio de problema. (Álvarez, Almeida &
Villegas 2014:1)
Esto convierte a la formulación y resolución de
problemas tanto intra como extra matemáticas,
en el eje central del trabajo con los contenidos de
la asignatura Álvarez et al. (2014). Estos deben
contribuir a la formación integral de los estudiantes
y como forma para adquirir y consolidar el saber y
el saber hacer matemáticos.
Para poder desarrollar adecuadamente el proceso
de enseñanza aprendizaje de la Matemática
es necesario contar con docentes preparados.
Relacionado con esto, Giné de Lera y Deulofeu
(2014) analizan el papel que tiene la formación y la
experiencia del profesorado de matemática sobre
el conocimiento y las creencias en la solución de
problemas.
El papel de la solución de problemas como
método para la enseñanza de la Matemática es
importante pues (…) “sirve para el desarrollo
de procesos didácticos con múltiples formas de
ejercitar y reflexionar sobre procesos, como son,
la inducción, la deducción, la generalización
y la particularización que son las claves del
pensamiento Heurístico.” (Defaz 2017:17)
Es importante mantener la curiosidad y el
entusiasmo de los estudiantes por la solución
de problemas matemáticos, por lo que se debe
garantizar que estos se le presenten ordenados según
su complejidad. (…) “parece recomendable que
los docentes propongan problemas matemáticos
a sus estudiantes con una dificultad incremental,
iniciando con problemas de fácil comprensión
que les ofrezcan una mayor probabilidad de ser
resueltos exitosamente” (Meza-Cascante, Suárez-
Valdés-Ayala & Agüero-Calvo 2015:67).
Una dificultad presente en el proceso de enseñanza-
aprendizaje de la Matemática radica en la ansiedad
de los estudiantes en este proceso, demostrada en
los estudios de Ramirez, Chang, Maloney, Levine
& Beilock (2016). A criterio de los autores, una
vía para enfrentarse a ella es precisamente utilizar
problemas en orden creciente de dificultad y
que estén vinculados con las motivaciones del
estudiante.
“El proceso de resolver problemas o comprender
un concepto matemático involucra ciclos iterativos
de discusión y colaboración en los que los
estudiantes deben tener la oportunidad de expresar,
revisar, contrastar, interpretar y refinar sus ideas y
métodos de solución” (Santos 2016:337) .
Estos ciclos permiten que, mediante este proceso,
se adquieran y fijen conocimientos y se desarrolle
la competencia matemática. Al enfrentarse a la
solución de un problema, este se puede considerar
un desafío en el que los estudiantes desarrollan
sus habilidades matemáticas y su creatividad, esto
“conlleva mejoras en el comportamiento, en las
habilidades sociales, la motivación, la autoestima
y el rendimiento en todos los aspectos” (Ayllón,
Gómez & Ballesta-Claver 2016:186).
Además, según Berenguer, Sánchez y Noguerol
(2017) tiene potencialidades para formar el valor
perseverancia en los estudiantes, para lo cual
proponen una estrategia didáctica. La solución
de problemas según Cruz (2002) facilita la
asimilación de nuevos conocimientos, y desarrolla
formas peculiares de interrelación con la sociedad
y el ambiente.
La solución de problemas matemáticos ha sido
investigada con profundidad por Polya (1945),
quien propone un modelo dividido en cuatro
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Joaquín Suárez Salvador; Carlos Duardo Monteagudo; Reinaldo Rodríguez Marín
etapas que constituye la base de varios modelos
actuales. Ballester et al. (1992) en su libro
Metodología de la Enseñanza de la Matemática
realizan un estudio de cómo enseñar a resolver
problemas y a insertar este proceso en el PEA de
la asignatura Matemática. Pozo y Postigo (1994)
explican la solución de problemas como contenido
procedimental, generalizable a la asignatura
Matemática.
Por su parte, Campistrous Pérez y Rizo Cabrera
(2013) discuten cómo puede lograrse el trabajo
con verdaderos problemas en las condiciones del
aula. Por su parte, Parra y Breda (2017) evidencian
las concepciones que poseen los profesores de
matemática en formación de una universidad
chilena, sobre la resolución de problemas y cómo
la implementan en el desarrollo de sus clases.
Celi, Hinojosa y Marín (2017) proponen una
metodología basada en la de Polya (1945) para la
resolución de problemas matemáticos.
También Liljedahl, Santos-Trigo, Malaspina
y Bruder (2016) explican la relevancia de la
heurística en los enfoques de resolución de
problemas, la importancia de que los alumnos
formulen y resuelvan sus propios problemas y el
papel desempeñado por el uso de las TIC en este
proceso. Binotto (2019) propone la utilización de
una metodología de solución de problemas para la
enseñanza de la estadística.
Mientras que Avvisati y Borgonovi (2020)
realizan un estudio sobre el papel de los test en la
educación, principalmente en el aprendizaje de la
solución de problemas mediante test, demostrando
que durante la realización de los mismos también
los estudiantes aprenden sobre la solución de
problemas.
El concepto de problema matemático no es el
mismo para todos los investigadores. Un problema
matemático “(...) es un ejercicio que refleja,
determinadas situaciones a través de elementos y
relaciones del dominio de las ciencias o la práctica,
en el lenguaje común y exige medios matemáticos
para su solución” (Ballester et al. 1992:447).
Esta definición tiene como limitante que no toma
en cuenta la necesidad de que la vía de solución
debe ser desconocida y el papel del interés del
solucionador al enfrentarse al problema.
Para resolver la limitante anterior y generalizar
el concepto se define problema como “Toda
situación en la que hay un planteamiento inicial y
una exigencia que obliga a transformarla. La vía
de solución tiene que ser desconocida y la persona
quiere realmente realizar la transformación”
(Rizo & Campistrous 1999:32), esta definición es
aplicable a cualquier clase de problema.
La definición a la que se adscribe García-García
(2019) es bastante similar a las anteriores al
coincidir con la existencia de una demanda o
acción a realizar, una persona que quiere o necesita
satisfacer esa demanda y un proceso desconocido
para cumplir con la misma, y a diferencia de los
anteriores sí menciona el resultado al explicitar
que puede tener uno, varios o ningún resultado.
Atendiendo a los objetivos de esta investigación
los autores asumen la concepción de Rizo y
Campistrous (1999) antes mencionada.
También existen diversos puntos de vista para
clasificar los problemas. Cruz (2002) clasifica
los problemas escolares de Matemática en
problemas de aplicación y problemas puramente
matemáticos, que se subdividen a su vez en
problemas aritméticos, algebraicos y geométricos
en dependencia de a cuál de los campos anteriores
pertenecen los recursos empleados para su
solución.
Para Cruz (2002) los problemas de aplicación son
aquellos que surgen o pueden producirse en la
práctica cotidiana, al constituir una simulación de
la realidad o de una esfera de la misma y para su
solución es necesaria la aplicación de herramientas
o medios matemáticos. Esta tipología de problemas
se adecua a los preceptos de esta investigación, ya
que la competencia matemática implica aplicación
de la matemática en diversas esferas.
Entre los contenidos matemáticos de amplia
aplicación se encuentran las funciones y dentro de
ellas las exponenciales y logarítmicas; ambas se
imparten en el undécimo grado del preuniversitario
cubano. Estas tienen grandes aplicaciones pues
sirven de modelo para el análisis del crecimiento
poblacional de los seres vivos, la expansión de
una enfermedad en una población y para calcular
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EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA MEDIANTE PROBLEMAS CON APLICACIONES DE LAS FUNCIONES
la velocidad de caída de cuerpos considerando
la resistencia del aire. Otras aplicaciones son
los modelos de decaimiento radioactivo y para
la determinación de la concentración másica
de algunas sustancias. Además, se utilizan en la
medicina, la astronomía, entre otras.
Según todo lo antes expuesto se defiende la idea
de que es necesario que el proceso de enseñanza
aprendizaje de las funciones numéricas se realice
desde la solución y formulación de problemas,
donde se vea de forma explícita sus múltiples
aplicaciones para contribuir al desarrollo de la
competencia matemática de los estudiantes.
NECESIDADES Y
POTENCIALIDADES DE LA
APLICACIÓN DE FUNCIONES
NUMÉRICAS
La determinación de necesidades y potencialidades
de la aplicación de las funciones numéricas en el
undécimo grado se realiza a partir del análisis
de documentos, la observación y la encuesta a
docentes, directivos y a estudiantes.
El análisis de documentos incluye el programa
director de Matemática, los programas de
Matemática vigentes en el curso 2016–2017,
las Resoluciones del Ministerio de Educación
que norman el trabajo en el Preuniversitario y
el libro de Matemática undécimo grado. Para
la aplicación de la encuesta se selecciona una
muestra de 30 estudiantes de undécimo grado de
un preuniversitario de Santa Clara, 10 profesores
de Matemática de undécimo grado del nivel
preuniversitario de Santa Clara y 3 directivos de
este nivel. La observación se realiza a cinco turnos
de clases de Matemática.
Para el estudio de los documentos normativos
se procede a determinar dos indicadores a tener
en cuenta para su análisis: la orientación de
la aplicación de las funciones numéricas en la
asignatura Matemática en el nivel medio superior
y la presencia de la solución de problemas con
aplicaciones de las funciones numéricas.
El programa director de Matemática vigente
desde el curso 1997-1998, orienta en los
objetivos solucionar problemas en los que
se apliquen los conocimientos y habilidades
adquiridos sobre el significado de las operaciones
de cálculo, la proporcionalidad y el tanto por
ciento. También indica identificar relaciones
funcionales y sus propiedades, a partir de tablas,
diagramas, ecuaciones, gráficas u otras formas de
representación, y utilizarlas en la modelación de
situaciones prácticas.
Los programas de Matemática de Preuniversitario
(MINED 2005, 2006a, 2006b), tienen entre sus
objetivos resolver problemas relacionados con
el desarrollo económico, político y social, local,
nacional, regional y mundial y con fenómenos y
procesos científicos-ambientales, que requieran
conocimientos y habilidades relativos, entre otros,
a las funciones y las funciones elementales.
El análisis del Programa de la asignatura en el
undécimo grado permite constatar que en la
Unidad 2 se orienta
Transferir de una representación a otra de las
funciones exponenciales y logarítmicas, es
decir, de sus propiedades a su representación
analítica, gráfica o descriptiva (en el lenguaje
común) y viceversa, aplicando estos
conocimientos a situaciones sencillas de la
práctica y otras ciencias. (MINED 2005:18)
Las orientaciones metodológicas tienen poca
información sobre su tratamiento.
Al analizar el libro de Matemática de undécimo
grado, elaborado por Campistrous et al. (1990),
se observa que no existen problemas con
aplicaciones exponenciales y logarítmicas,
solamente se hace referencia a las aplicaciones
de los logaritmos a partir de los ejemplos 8 y 9
(Campistrous et al. 1990:32-33), en contradicción
con los objetivos generales de la asignatura para el
nivel, el grado y la unidad.
La encuesta se realiza a 30 estudiantes de undécimo
grado de Santa Clara. En la pregunta sobre la
motivación durante las clases de Matemática para
la realización de los problemas sobre las funciones,
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Joaquín Suárez Salvador; Carlos Duardo Monteagudo; Reinaldo Rodríguez Marín
se constató que un 6,7% de los estudiantes siempre
resultaron motivados, el 46,7% casi siempre, el
36,7% a veces y un 10,0% nunca se sintió motivado
(figura 1). Estos resultados indican que se debe
trabajar en este sentido pues un 46,7% de los
estudiantes expresaron que se sienten motivados
hacia la solución de los problemas sobre funciones
con baja frecuencia.
Sobre la posibilidad de responder de forma
independiente los problemas sobre funciones en
las clases, se constató que siempre solo el 3,3%
de los estudiantes son capaces de responder por
sí solos, el 20% casi siempre, un 33,3% a veces
y un 43,3% nunca. Esta información ofrece datos
sobre las habilidades que traen los estudiantes y
los hábitos de trabajo independiente, donde hay
carencias en un 76,7% de los estudiantes, que se
ubican en las categorías nunca y a veces.
En la pregunta sobre las aplicaciones de las
funciones numéricas en la vida se constató que
el 26,7% conoce alguna de ellas y el 73,3% no
las conoce. Este aspecto influye en el desarrollo
de la investigación profundizando el interés del
investigador.
A la interrogante sobre la frecuencia de solución
en clases de problemas con aplicaciones de las
funciones el 3,3% respondió frecuentemente, el
86,7% responde ocasionalmente y el 10,0% nunca
(figura 2).
Fuente: Elaboración propia
Figura 1: Resultados sobre la motivación y el trabajo independiente
Fuente: Elaboración propia
Figura 2: Resultados sobre la frecuencia de solución de problemas y el conocimiento de las
aplicaciones de las funciones numéricas
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EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA MEDIANTE PROBLEMAS CON APLICACIONES DE LAS FUNCIONES
Sobre las principales limitaciones (figura 3) que a
criterio de los estudiantes afectaron la realización
de problemas sobre funciones, el 43,3% de los
estudiantes contestó que no entendían claramente
el concepto de función, el 70,0% planteó contar
con pocos problemas en el libro de Matemática
de undécimo grado, el 40,0% coincidió en que
los problemas están dirigidos para todos los
estudiantes por igual, un 70,0% se refirió a la poca
sistematización y el 73,3% destacó la carencia
de una colección de problemas. Además, el 60 %
reconoció dificultades al comprender el problema
y modelar la situación.
En la encuesta a docentes participan un total de 10
y ofrece como resultados los siguientes.
La primera interrogante en la que se le pide que
escriban aplicaciones de varias funciones, el 90%
conoce aplicaciones de las funciones lineales,
cuadráticas, logarítmicas y trigonométricas
y el 70% conoce aplicaciones de la función
exponencial.
En la segunda interrogante sobre las orientaciones
metodológicas de la asignatura sobre el tema, el
80% plantea que existen, el 10% que no existen
y el resto (10%) no responde. El 50% de los
encuestados plantea que son insuficientes en todos
los grados.
A la interrogante relacionada con la preparación
sobre el tema, el 50% plantea que sí recibió
preparación y el resto que no la ha recibido. El 60%
plantea que considera su preparación insuficiente
y que necesitan profundizar en el tema.
El 40% afirma que utiliza frecuentemente
problemas con aplicaciones en sus clases y el
60% que lo hace ocasionalmente. El 70% plantea
que propone a sus estudiantes que investiguen
sobre las aplicaciones de las funciones, para que
profundicen y comprendan mejor la temática y el
20% no lo hace.
El 100% considera pertinente que los estudiantes
conozcan sobre el tema como una necesidad
para la vida, para una mayor comprensión de la
naturaleza y la vida práctica. Aunque plantean
como principal dificultad la falta de bibliografía
en la que se analice con profundidad la aplicación
de las funciones numéricas.
La observación realizada en un total de cinco
clases en las que asistieron todos los estudiantes
ofrece los siguientes resultados (tabla 1):
Fuente: Elaboración propia
Figura 3: Principales limitaciones que afectan la solución de problemas con aplicaciones de las
funciones a criterio de los estudiantes
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Joaquín Suárez Salvador; Carlos Duardo Monteagudo; Reinaldo Rodríguez Marín
Tabla 1: Resultados de la observación
Participación de los
estudiantes en la clase
de Matemática
Frecuencia absoluta
Perseverancia al resolver
proble mas
Frecuencia absoluta
Activamente
12
Lo logra al primer intento
2
Esporádicamente
16
Abandona tras un intento fallido
7
Por indicación
2
Lo intenta varias veces sin resolverlo
12
Lo intenta varias veces hasta resolverlo
9
Fuente: Elaboración propia
En el aspecto relacionado con la participación
de los estudiantes en la clase de Matemática,
se observa que el 40% participa activamente en
las clases, el 53,3% lo hace esporádicamente,
fundamentalmente cuando les interesa la temática
de la clase, y el resto (6,7%) de los estudiantes no
participa a menos que el profesor le pida que lo
haga.
Atendiendo al uso o no por el profesor de
problemas con aplicaciones de las funciones en
las clases observadas, el profesor no utiliza ningún
problema con aplicaciones de las funciones. Al
no usar las aplicaciones de las funciones, los
estudiantes no manifiestan interés por las mismas.
El 23,3% de los estudiantes abandonan la solución
de los problemas luego de un primer intento fallido
esperando a que los demás estudiantes respondan
por ellos. El 6,7% de los estudiantes llega a la
solución tras un primer intento. El resto (70,0%)
lo intenta varias veces. El 36,7% del grupo llega
al resultado final.
Los directivos expresan en las entrevistas
realizadas la pertinencia de un trabajo encaminado
a la solución de problemas con aplicaciones de las
funciones numéricas; argumentan que el mismo
contribuye de manera significativa al cumplimento
de los objetivos del nivel, ya que permite que
los estudiantes aprendan las propiedades de las
funciones numéricas desde sus aplicaciones al ver
las implicaciones de estas a la realidad.
La triangulación de las fuentes permite plantear que
en los programas de la asignatura se expresa como
uno de sus objetivos el estudio de los contenidos
matemáticos, específicamente las funciones
numéricas, a partir de sus aplicaciones en la vida. En
los libros de texto son insuficientes los problemas
con estas características, particularmente en el
libro de texto de undécimo grado, donde solo
aparecen problemas relacionados con la función
logarítmica.
Por otra parte, el uso de estos problemas es poco
frecuente en el proceso de enseñanza aprendizaje
de las funciones numéricas. Aunque los profesores
consideran pertinente la preparación de los
estudiantes sobre el tema, plantean como una
dificultad la falta de bibliografía.
PROBLEMAS CON APLICACIONES
DE LAS FUNCIONES NUMÉRICAS
La propuesta consiste en problemas que
evidencian la aplicación de las funciones
numéricas, que responden a los contenidos de la
Unidad 2 “Ecuaciones y funciones exponenciales
y logarítmicas” del undécimo grado y que
complementan el libro de texto de ese grado. A
continuación, se presentan cinco ejemplos de
estos problemas.
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EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA MEDIANTE PROBLEMAS CON APLICACIONES DE LAS FUNCIONES
Esta propuesta se encuentra ordenada en un
grado creciente de dificultad. En ella se reflejan
situaciones relacionadas con el contexto en el que
viven los estudiantes y su orientación profesional.
Durante la realización de estos problemas el
profesor debe explicar las implicaciones del
contenido matemático en las situaciones dadas.
En particular, la propuesta desarrolla la
competencia matemática de los estudiantes
atendiendo al desarrollo de habilidades tales
como identificar, calcular, evaluar y comparar, y
la adquisición de conocimientos matemáticos y de
otras ciencias.
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VALORACIÓN DE LA PROPUESTA DE
PROBLEMAS POR ESPECIALISTAS
La propuesta se somete a criterios de especialistas
para evaluar la pertinencia y la factibilidad
de su puesta en práctica. Para ello se tuvo
en consideración: la determinación de los
aspectos esenciales a evaluar y la selección de
los especialistas. Se seleccionan diez según su
experiencia como profesores de Matemática (más
de 10 años), su nivel profesional y académico.
Una vez recopilada y analizada la información
ofrecida por estos, se precisan aspectos importantes
que permitieron el perfeccionamiento de los
problemas elaborados a partir del rigor científico
de los señalamientos realizados. En la valoración
de la propuesta de los problemas para la aplicación
de las funciones numéricas, los especialistas
consideran (tabla 2):
El aspecto 1, sobre la calidad de los problemas,
fue evaluado como muy adecuado por el 100% de
los especialistas. No se realizan argumentaciones,
ni observaciones al respecto.
La evaluación a la adecuación de los problemas
a las características del grado, aspecto 2, fue
considerada de muy adecuado por el 70% de
los especialistas consultados. El resto lo evaluó
como bastante adecuado (30%). Dos señalan las
dificultades que pueden presentar los estudiantes
en el trabajo algebraico y las propiedades de las
potencias. El aspecto 3, en el que se solicitaban
valoraciones sobre la contribución a la preparación
del estudiante para la vida, recibió la categoría
muy adecuado por el 90% de los especialistas, el
resto lo evaluó como bastante adecuado (10%). La
concepción desarrolladora de la propuesta, aspecto
4, recibió valoraciones de muy adecuado por los
10 especialistas (100 %). Finalmente, el aspecto
5 referido a las posibilidades para su puesta en
práctica, fue evaluado como muy adecuado por el
100% de los especialistas.
Los especialistas señalaron elementos como
posibles dificultades para su empleo en el PEA
de la Matemática los relacionados con el trabajo
algebraico por los estudiantes. Recomiendan el
uso de la notación científica y mayor empleo de
las TIC para racionalizar el trabajo mental. Estos
aspectos fueron mejorados en la propuesta final.
Además, como elemento positivo valoran que
los problemas en cuestión pueden mejorar el
aprendizaje del tema, pues acercan las funciones
numéricas a elementos que los estudiantes conocen
Tabla 2: Resultados del criterio de especialistas
Calidad de
los
problemas
Adecuación
de los
problemas a
las
características
del grado
Contribución
a la
preparación
del
estudiante
para la vida
Concepción
desarrolladora
Posibilidades
para su
puesta en
práctica
Inadecuado
Poco
adecuado
Adecuado
Bastante
adecuado
3
1
Muy
adecuado
10
7
9
10
10
Fuente: Elaboración propia
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EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA MEDIANTE PROBLEMAS CON APLICACIONES DE LAS FUNCIONES
del estudio de otras ciencias y son de su interés, y
promueven un aprendizaje significativo.
El análisis integrador de los aspectos sometidos
al criterio de los especialistas permite determinar
la aceptación de los problemas propuestos como
tendencia, pues las opiniones emitidas se ubican
en las categorías de adecuado y muy adecuado,
lo que ratifica las posibilidades de aplicación
de la propuesta y su factibilidad en el contexto
pedagógico para el que ha sido concebida.
DESARROLLO DE LA
COMPETENCIA MATEMÁTICA EN
UN GRUPO DE ESTUDIANTES DE
PREUNIVERSITARIO
Con vistas a evaluar el desarrollo alcanzado
en indicadores de la competencia matemática,
se realiza un pre-experimento en un grupo de
treinta estudiantes de undécimo grado de un
preuniversitario de Santa Clara. Durante el pre-
experimento también se recogen opiniones de los
estudiantes. Se aplica una prueba pedagógica en
dos momentos: al comenzar a recibir la Unidad 2,
y al concluir la misma (figura 4).
Al inicio del proceso, la habilidad más afectada
es resolver problemas, pues un 93,3% de los
estudiantes presentan dificultades y la menos
afectada es la habilidad identificar con un 36,7%
de estudiantes afectados. Según el desarrollo
alcanzado en las habilidades evaluadas, se
clasifican a los estudiantes en las categorías de
alto, medio y bajo, obteniéndose como resultados
los siguientes: bajo 73,3% de los estudiantes,
medio 20,0% y alto 6,7%.
Al concluir la unidad, se manifiesta una tendencia
ascendente en el desarrollo de habilidades que
constituyen indicadores de la competencia
matemática. Sin embargo, a pesar del avance,
formular pasa a ser la más afectada con un 20,0%
de estudiantes desaprobados. La mayor mejoría
se encuentra en la habilidad resolver problemas
y los mejores resultados se logran nuevamente
en la habilidad identificar con solo un 3,3 % de
los estudiantes afectados. En cuanto al desarrollo
general en las habilidades un 13,3% estudiantes
se ubica en el nivel bajo, 26,7% en medio y 60%
en alto.
Si bien al inicio la mayor cantidad de estudiantes
presentaba dificultades al identificar, enunciar,
calcular, formular, esbozar y resolver problemas,
con el desarrollo del proceso de enseñanza
Fuente: Elaboración propia
Figura 4: Resultados del pre experimento: comportamiento por habilidades.
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Joaquín Suárez Salvador; Carlos Duardo Monteagudo; Reinaldo Rodríguez Marín
Fuente: Elaboración propia
Figura 5: Resultados del pre experimento: desarrollo de habilidades
aprendizaje de las funciones numéricas mediante
problemas donde se explicitan sus múltiples
aplicaciones, se produce un movimiento que
conlleva a que disminuya el número de estudiantes
con dificultades en las habilidades que constituyen
indicadores de la competencia matemática. Como
consecuencia de este movimiento disminuye
el porcentaje del nivel bajo y aumenta el de los
niveles medio y alto (figura 5).
Para el análisis comparativo de las transformacio-
nes experimentadas en el desarrollo de habilida-
des que constituyen indicadores de la competen-
cia matemática, al finalizar el pre-experimento se
aplica la Prueba de Wilcoxon de los rangos con
signos para muestras relacionadas. En su aplica-
ción se tuvo en cuenta que se trata de muestras
dependientes, el mismo grupo antes y después, y
que los datos son discretos.
En la prueba se comparan los valores obtenidos en
las evaluaciones inicial y final, y se determina si
los cambios ocurridos en relación con el desarrollo
de habilidades son significativos o no. Para su
aplicación se consideró el nivel de significación
0,05.
Como p = 0,000 < 0,05 se rechaza la hipótesis nula,
por lo tanto, se puede afirmar que hay diferencias
entre los resultados al inicio y al final en cuanto
al desarrollo de habilidades, lo que se ha venido
evidenciando descriptivamente: los resultados
finales son mejores que los iniciales.
CONCLUSIONES
La solución de problemas matemáticos contribuye
al desarrollo de la creatividad, la perseverancia
y la adquisición y fijación de los conocimientos
matemáticos, por tanto, la referida solución de
problemas debería constituir el eje central de
trabajo de la Matemática en el preuniversitario.
La tipología de los problemas propuestos en
esta investigación contribuye al desarrollo de
la competencia matemática de los estudiantes,
constituye un importante complemento del
libro de texto y está encaminada a desarrollar el
proceso de enseñanza aprendizaje de las funciones
exponenciales y logarítmicas al seguir una
metodología de solución de problemas.
Acorde con lo planteado en el proceso de
perfeccionamiento del sistema educativo, la
tipología de problemas propuestos hace evidente
las aplicaciones que tienen las funciones
exponenciales y logarítmicas en diferentes esferas
de la vida.
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EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA MEDIANTE PROBLEMAS CON APLICACIONES DE LAS FUNCIONES
DECLARACIÓN DE CONFLICTOS DE
INTERESES:
Los autores declaran no tener conflictos de interés.
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